Juegos con estrategias matemáticas

Evidentemente, lo primero que se nos puede venir a la mente al pensar en juegos relacionados con las matemáticas es considerar juegos de azar como la lotería o juegos en los que se precisa cierta habilidad como puede ser el póker, en los que las herramientas matemáticas puestas en juego se limitan al cálculo de probabilidades para determinar cuáles son las opciones de éxito.

Ahora bien, ¿los juegos matemáticos se limitan a situaciones similares a las anteriores? Evidentemente no, por lo que debemos matizar el significado de juegos matemáticos. Como se expone en (Edo, Deulofeu, Badillo y Baeza, 2008), el juego matemático es una actividad colectiva basada en reglas fijas, sencillas, comprensibles y asumidas por todos los participantes. Las reglas establecerán no sólo los objetivos para el conjunto de jugadores, sino también los objetivos específicos de cada uno de los participantes que deberán buscar las estrategias para bloquear y/o ganar al resto de participantes.

Según la definición anterior, trabajar con juegos matemáticos puede resultar beneficioso para la mejora del aprendizaje de la resolución de problemas de matemáticas. Según (Edo et al., 2008), este hecho radica en que la resolución de problemas y los juegos matemáticos comparten el mismo proceso heurístico, es decir, que las fases de resolución de uno y otro se asemejan bastante, hecho que podemos apreciar en la siguiente tabla:

Así, los juegos matemáticos pueden permitir desarrollar habilidades de resolución de problemas, siempre y cuando sean trabajados con un objetivo claro y dentro de un ambiente de resolución de problemas, donde se estimule el pensar de un modo matemático (Gairín Sallán, 1990).

También debemos considerar otras características que deben tener los juegos a desarrollar en el aula para que estos sean un recurso didáctico efectivo. Algunas características imprescindibles que deben tener, señaladas por (Sánchez, Palmero, Sánchez, Lalanda y Sánchez, 2004) son las siguientes:

• Función lúdica: Al comenzar los desarrollos de los juegos, los alumnos tienen que tomar los mismos como un mero entretenimiento. La utilidad didáctica que hizo que el profesor eligiese dichos juegos se plasmará posteriormente, si se trabajan siguiendo las fases expuestas anteriormente.
• Función motivadora: Si los juegos propuestos no interesan al alumnado, estos perderán su sentido y se convertirán en simples ejercicios rutinarios.
• Función de accesibilidad: Los juegos deben ser asequibles para los alumnos. Las reglas de los mismos deben ser escuetas y de fácil comprensión. Además, Los juegos se deben adecuar a las características espacio-temporales de la clase.
• Función de reto: Si los juegos propuestos son muy previsibles los estudiantes perderán el interés enseguida.

Los juegos matemáticos que vamos a desarrollar cumplirán estas características con el fin de que la función de los mismos no se desvirtúe. Con ello, trabajaremos las competencias básicas estipuladas en el Real Decreto 217/2022, además de algunas heurísticas útiles en la resolución de problemas, en la modelización matemática o en el manejo de las matemáticas en general. Entre dichas heurísticas podemos destacar:

• Uso de simetrías para simplificar el análisis de casos.
• Reducción de un caso a otros más sencillos.
• Uso de la paridad para estudiar situaciones.
• Distinción exhaustiva de casos.
• Elección de una notación adecuada.
• Búsqueda de patrones.
• Extrapolación de ideas o conclusiones a otros casos.

De un modo aún más riguroso, el uso de juegos matemáticos está respaldado por la Teoría de Situaciones de Brosseau. Esta teoría se basa en que los conocimientos matemáticos de los alumnos no se forman espontáneamente y busca las condiciones para que estos se construyan de forma artificial, hecho que ocurre con el desarrollo de juegos en el aula ya que las situaciones didácticas son los juegos a desarrollar en el aula, mientras que las situaciones a-didácticas se encuentran en la interacción entre los alumnos y los juegos propuestos (Vidal, 2009). El lector interesado en esta teoría puede consultar, entre otras muchas referencias como la anterior, el siguiente texto (Brousseau, 2007).

Por último veamos la reflexión que hace el autor en (de Guzmán Ozámiz, 1986).

“El objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste en embutir en la mente del alumno un amasijo de información que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia”.

Evidentemente, los juegos matemáticos nos pueden ayudar a conseguir todo lo postulado anteriormente porque, por un lado, existe una enorme relación entre los juegos y numerosos contenidos matemáticos relevantes para el desarrollo de su mente y, por otro lado, nos ayudarán a aumentar la atención y la motivación de los discentes porque, ¿a quién no le gusta jugar?

Disposición inicial para el círculo de monedas con 12 monedas.

Kayles es un juego para dos jugadores inventado por Dudeney y propuesto por los matemáticos Berlekamp, Conway y Guy en (Berlekamp, Conway y Guy, 2001) aunque también lo encontramos en (Gardner 2018). El juego es similar al anterior, pero en este caso las monedas se disponen en fila. Se pueden extraer en cada turno una moneda o dos que sean adyacentes sin que exista un espacio vació entre ellas, y el jugador que resultará el vencedor será el que retire la última moneda.

Disposición inicial para kayles con 5 monedas.

2.1. Análisis matemático

Realicemos un análisis de cada uno de los juegos por separado. Además, veremos una variante de los mismos.

 Veamos que, independientemente del número de monedas de partida que tengamos y de los movimientos que realice el primer jugador en cualquiera de sus turnos, el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. Para ello, supongamos que tenemos n monedas de partida.

Al iniciar el juego, el primer jugador retirará una o dos monedas adyacentes. El segundo jugador en su siguiente movimiento debe retirar una o dos monedas adyacentes de manera que forme dos grupos separados que tengan el mismo número de monedas. Para ello, deberá proceder de la siguiente forma:

• Supongamos que n es par:
  • Si el primer jugador retira una moneda, el segundo jugador debe retirar la moneda opuesta a esta, formando dos grupos separados de (n-2)/2 monedas.
  • Si el primer jugador retira dos monedas, el segundo jugador debe retirar las dos monedas opuesta a estas, formando dos grupos separados de (n-4)/2 monedas.
• Supongamos que n es impar:
  • Si el primer jugador retira una moneda, el segundo jugador debe retirar las dos monedas opuestas a estas, formando dos grupos separados de (n-3)/2 monedas.
  • Si el primer jugador retira dos monedas, el segundo jugador debe retirar la moneda opuesta a estas, formando dos grupos separados de (n-3)/2 monedas.

Ahora, la estrategia a seguir por el segundo jugador es retirar el mismo número de monedas, y en la misma disposición que retire el primer jugador en su turno, pero en el grupo contrario al que lo haga este. Así, llegará un momento que el primer jugador retire todas las monedas de un grupo y el segundo jugador en su turno hará lo propio en el grupo restante ganando así el juego.

Kayles

Observemos que en kayles, el segundo jugador busca la misma estrategia que en el círculo de monedas, es decir, formar dos grupos separados de monedas y repetir los movimientos que haga el primer jugador, pero en el grupo contrario. Ahora bien, en este juego, el segundo jugador no podrá conseguir formar esos dos grupos siempre, pues esto dependerá tanto del primer movimiento que haga el primer jugador y del número inicial de monedas. Así, el segundo jugador no va a tener siempre una estrategia ganadora como ocurría en el juego anterior.

De hecho, un estudio general se presenta demasiado complejo para las pretensiones de este texto, pero sí vamos a mencionar cómo se podría proceder. Se trata de acercarse al estudio de los juegos de Nim en los que dos jugadores se turnan para quitar objetos de distintos montones. Para ello, necesitaríamos realizar una introducción a los números o funciones de Grundy que nos proporcionarían en cada caso cuál es el jugador ganador dependiendo del número inicial de monedas y del número de montones. El lector interesado en ello puede encontrar un análisis detallado de esta forma de trabajo en (Berlekamp, Conway y Guy, 2001).

En lugar de ello, proponemos al lector que realice estudios particulares dependiendo del número inicial de monedas, usando los casos más simples para obtener conclusiones sobre los caso más complicados.

Supongamos ahora que, en el círculo de monedas cada jugador puede quitar en su turno el número de monedas adyacentes que desee. En este caso, el segundo jugador sigue teniendo una estrategia ganadora para cualquier número n de monedas inicial similar a la desarrollada anteriormente.

Evidentemente supongamos que no se pueden retirar todas las monedas en el primer turno y que el primer jugador no extrae en su turno la mitad de las monedas o más pues en ese caso el segundo jugador ganaría fácilmente retirando en su turno las monedas restantes.

Entonces, consideremos que el primer jugador ha retirado k monedas adyacentes. Tenemos dos casos:

• Si n-k es impar, el segundo jugador debe retirar el número impar más alto posible de monedas de tal manera que se obtengan dos grupos separados de monedas de igual número.
• Si n-k es par, el segundo jugador debe retirar el número par más alto posible de monedas de tal manera que se obtengan dos grupos separados de monedas de igual número.

Una vez en este punto, la estrategia es igual a la anterior, el segundo jugador debe copiar los movimientos del primer jugador, pero en el grupo contrario, con lo que será el ganador del juego.

Evidentemente esta misma variante se puede plantear para kayles pero, como hemos comentado anteriormente, el análisis completo del juego es complicado por lo que lo omitiremos. De forma más general se puede introducir como vimos los juegos de Nim y numerosas variantes de ellos.

2.2. Desarrollo en el aula

Para desarrollar estos juegos en el aula, el docente debe partir de la premisa de que los alumnos ni mucho menos intentarán de primeras realizar análisis como los expuestos anteriormente. Lo que si debe esperar es que los estudiantes, siguiendo las fases de resolución de un juego expuestas en la sección anterior, experimenten con ellos y sean capaces de ir elaborando estrategias que les permitan ganar en ciertas situaciones.

Por un lado, en el círculo de monedas, al ser un juego en el que se conoce el jugador ganador antes de comenzar la partida, los alumnos deben llegar a dos conclusiones. Primero, si les interesa comenzar el juego o ser el segundo jugador y, segundo, cuál es la estrategia que deben seguir para ser los vencedores de la partida.

Por otro lado, en kayles, la tarea es mucho más complicada. El docente, previamente al desarrollo del juego en clase, puede elaborar estrategias ganadoras para cada jugador dependiendo del número inicial de monedas, y proponer el juego de cada caso por separado intentando que en cada uno de ellos el estudiante sea capaz de llegar a la estrategia ganadora. Lo mismo ocurre con los juegos de Nim que se puedan proponer.

Observemos que puede ser interesante además el intentar relacionar distintas estrategias llevadas en cada juego para que los alumnos comprendan que muchos razonamientos pueden ser válidos en distintas situaciones que se puedan presentar.

Notemos que el grado de abstracción y la capacidad de elaborar razonamientos complejos estarán al alcance de cursos de mayor nivel como los de Bachillerato, mientras que en niveles inferiores es más complicado que puedan llegar a conclusiones generales con una menor ayuda por parte del profesor.

 Veamos por tanto cuáles pueden ser las formas más útiles de implementar tanto el círculo de monedas, kayles y juegos de Nim como las variantes de los mismos dependiendo de los distintos niveles y de los distintos cursos en los que se vaya a llevar a cabo, manteniendo siempre las características que estos deben tener propuestas en la sección anterior.

 Para que los alumnos experimenten con el círculo de monedas se debe comenzar proponiendo un caso general de un número elevado de monedas, como por ejemplo unas 15 monedas. Así, el juego cumplirá el carácter lúdico que debe tener, como vimos anteriormente. Posteriormente, en el caso en el que los alumnos no lleguen a obtener estrategias ganadoras en diversas situaciones, propondremos que comiencen jugando con un menor número de monedas de inicio.

Por ejemplo, si se pide al alumnado que comiencen jugando con 2, 3, 4 o 5 monedas verán paulatinamente que el segundo jugador es el que siempre resulta ganador. Ahora bien, es importante que expongan las estrategias que han seguido en cada caso y que se pregunten si esa estrategia se puede llevar a un caso mayor.

Es posible que los alumnos no lleguen a obtener la estrategia final por lo que es preciso que el docente se acerque a ella explicando que la estrategia a seguir es dividir el conjunto de monedas en dos grupos separados y cómo conseguir llegar a ello para luego imitar los movimientos del primer jugador en el grupo contrario. Todo ello siempre sin proporcionar respuestas directas, sólo guiando al alumnado en dicho proceso.

Mencionar que la variante del círculo de monedas se puede exponer tanto anterior como posteriormente al análisis del juego inicial, pero siendo conscientes de que, al hacerlo posteriormente, puede resultar más factible un análisis del mismo mientras que, al hacerlo antes, dicha variante puede adquirir un componente más lúdico.

Lo mismo ocurre con kayles o los juegos de Nim, los alumnos pueden tomarlos de una forma más lúdica, pero sí que intentarán obtener estrategias ganadoras en situaciones dentro de cada partida, las cuales sean fácilmente observables.

Puede ser interesante comenzar en niveles más avanzados con la variante expuesta del círculo de monedas que puede resultar algo más compleja a la hora de realizar su análisis. Si ningún alumno es capaz de averiguar cuál es la estrategia ganadora para el número de monedas cualesquiera que se quieran extraer en cada turno, se les puede plantear que fijen dicho número e intenten estudiar cada caso por separado.

Por ejemplo, fijando en dos el máximo de monedas a extraer en un turno estaremos en las hipótesis del círculo de monedas el cuál es más sencillo de abordar a la hora de obtener estrategias ganadoras.

Posteriormente, si los alumnos han sido capaces de obtener conclusiones certeras para el caso primero, se irá aumentando gradualmente el número de monedas que se pueden extraer como máximo en un turno hasta que observen que independientemente de ese número el segundo jugador siempre tiene la misma estrategia.

En estos cursos, sí que puede ser interesante realizar un estudio más avanzado de cada caso en los juegos de Nim o en kayles para cada caso inicial que se pueda presentar. Además, es importante como hemos comentado relacionar estrategias en cada uno de los casos y en cada uno de los juegos, pues como hemos comentado, numerosas situaciones pueden tener una estrategia análoga.

El juego del drago también conocido como sprouts (en castellano: brotes) es un juego para dos jugadores en el que se precisa el uso de bolígrafo y papel. El juego se encuentra propuesto en (Berlekamp, Conway y Guy, 2003b) donde se realiza un análisis detallado del mismo además de aparecer en (Gardner, 2018). Se dibuja una cantidad de puntos cualquiera. En cada turno, los jugadores deben unir un par de puntos o unir un punto consigo mismo mediante una línea y añadir un nuevo punto sobre la línea que han dibujado. El trazo de la nueva línea se debe realizar siguiendo las siguientes reglas:

• Puede dibujarse de cualquier forma siempre que no se corte a si misma o a otra línea ya dibujada.
• Una línea no puede pasar por otros puntos distintos del inicial y final de la misma.
• De ningún punto pueden salir más de tres líneas, quedando un punto anulado cuando se cumple esta condición.

El ganador del juego es el último jugador en realizar un movimiento permitido.

Movimiento del primer jugador que añade el punto rojo a la línea dibujada.

El juego de las coles de Bruselas (conocido como Brussels sprouts) se encuentra propuesto también en (Berlekamp, Conway y Guy, 2003b) y además en (Gardner, 2018). Las características de este juego son similares al anterior a excepción de que en este caso los elementos que debemos unir son cruces y un movimiento consiste en prolongar un brazo cualquiera de una cruz cualquiera formando una línea hasta un brazo de la misma cruz o de otra cruz distinta. Ahora, se debe añadir un brazo transversal en la línea dibujada creando así una nueva cruz. Estas líneas se pueden hacer sujetas a las siguientes restricciones:

• Puede dibujarse de cualquier forma siempre que no se corte a si misma o a otra línea ya dibujada.
• Una línea no puede pasar por otras cruces distintas de la inicial y  de la final de la misma.
• Los brazos de los que sale una línea quedan anulados.

El ganador del juego es el último jugador en realizar un movimiento permitido.

Movimiento del primer jugador que añade el brazo rojo a la línea dibujada.

3.1. Análisis matemático

Realizar un análisis matemático de los juegos anteriores puede resultar realmente complicado, de hecho, profundizar en un análisis riguroso de los mismos excede las pretensiones de este texto, por lo que nos limitaremos a proporcionar solamente información relevante sobre estos.

 Una de las primeras cuestiones es responder si el juego es finito pues, en cada movimiento, obtenemos un nuevo punto con el que poder jugar. Efectivamente así es, y si consideramos que n es el número inicial de puntos, se puede demostrar que la partida tendrá entre 2n y  3n-1 turnos como se comprueba en (Berlekamp, Conway y Guy, 2003b). Además, en dicha referencia encontramos una conjetura que nos dice que si el número de puntos n al dividirlo por 6 da como resto 3, 4 o 5, el primer jugador tiene una estrategia ganadora, mientras que en caso contrario es el segundo jugador el que puede ganar el juego con una estrategia. Esta conjetura ha sido demostrada para n menor que 44 con el uso de ordenador, pero no se ha podido comprobar para un caso general.

Aparentemente, este juego parece más complejo que el anterior, por lo que nuestra intuición nos puede llevar a especular que el análisis de este juego es más complicado que el del juego del drago. Pues bien, todo lo contrario, el juego de las coles de Bruselas es un juego de estrategia cerrada en el que se puede conocer qué jugador será el ganador antes de comenzar la partida. De hecho, se puede comprobar que si consideramos un número inicial de n cruces, entonces la partida debe terminar exactamente a los 5n-2 movimientos. Por tanto, para n impar el primer jugador siempre resultará vencedor del juego, mientras que para n par, será el segundo jugador el que gane la partida, como se explica en (Gardner, 2018).

Como variantes de los juegos anteriores podemos considerar aquellos en los que tengamos que unir puntos o elementos similares en los que las reglas del juego pueden ser parecidas a las anteriores. En las referencias anteriores podemos encontrar numerosos ejemplos, pero vamos a destacar un juego, propuesto en (Berlekamp, Conway y Guy, 2003b), que es ampliamente conocido y el cual es estudiado a fondo por dichos autores. Es el juego conocido como puntos y cajas.

Los jugadores empiezan con una cuadrícula de puntos y van trazando líneas horizontales o verticales que unen puntos adyacentes. Si al dibujar una línea un jugador cierra una caja o cuadrado de cuatro vértices adyacentes entonces ese cuadrado será suyo, sumando así un punto y, a continuación, debe dibujar otra línea válida en el tablero. Esta secuencia se repite hasta que el jugador no cierra nuevas cajas al colocar una línea y le toca al contrincante. El ganador es aquel que ha conseguido más puntos cuando no se pueden colocar más líneas.

Una estrategia puede ser el no cerrar un grupo de cajas menor a cambio de tener la iniciativa y poder cerrar un grupo de cajas mayor, pero obtener estrategias más allá puede ser complicado. De hecho, como comentan los autores, se puede estudiar como un problema computacional en teoría de grafos, y no se ha obtenido un algoritmo eficiente que nos permita resolver el juego.

3.2. Desarrollo en el aula

Notemos que en estos juegos es complicado obtener estrategias ganadoras al comenzar las partidas, pero sí que se pueden ir obteniendo pequeñas estrategias durante el desarrollo de cada una de ellas. Es aquí donde estos juegos adquieren especial relevancia desde un punto de vista del trabajo de las matemáticas en el aula.

Para fomentar el desarrollo de dichas estrategias, además de que los alumnos desarrollen partidas por sí mismos, también podemos proponer distintas situaciones que se pueden dar en cualquier partida en las que los alumnos tengan que decidir qué movimiento deben realizar para salir vencedores o para tomar la iniciativa en el juego.

Además, podemos proponer otro tipo de tareas que pueden motivar al alumno a desarrollar el juego con mayor esmero y atención o con las que trabajar otros contenidos.

Por ejemplo, puede ser interesante llevar a cabo en clase un concurso con cada uno de los juegos anteriores, en los que los vencedores obtendrán algún refuerzo positivo. Así, los alumnos se verán incentivados a obtener estrategias ganadoras en los distintos juegos que se propongan.

Notemos que este método de actuación se puede plantear en la mayoría de juegos que deseemos implementar en clase, así como también puede ser útil proponer acertijos matemáticos individuales que también se puedan relacionar con ciertos contenidos que se desee trabajar con los discentes o que permitan desarrollar algunas heurísticas útiles en la resolución de problemas.

Otra forma de trabajo puede ser también en clase de informática, por ejemplo, jugando al juego puntos y cajas en la web http://dotsandboxes.org/ en la que podemos jugar a distintos niveles mejorando así nuestra habilidad sobre el juego. Además, esto nos puede permitir realizar una breve introducción a la programación pues se puede estudiar cómo ha programado el juego el autor de dicha página.

Conclusiones

Los juegos expuestos nos proporcionan un recurso didáctico que está respaldado por todo lo expuesto en la primera sección del texto, pudiendo apreciar que se trabajan con estos juegos las heurísticas o contenidos allí propuestos, además de que nos pueden permitir trabajar otras nociones distintas, siempre dependiendo del enfoque con el que se planteen los mismos.

Notemos por otro lado que con estos juegos se pueden plantear numerosas variantes con las que enriquecer tanto el análisis de los juegos como ampliar las heurísticas que se pueden trabajar con ellos, además de inculcar al alumnado la importancia que adquieren las hipótesis de trabajo en matemáticas pues, cambiando estas, se pueden obtener resultados distintos o no.

Además es importante mencionar que es labor del docente el buscar juegos que nos permitan trabajar las heurísticas o los contenidos deseados. Los análisis realizados y presentados a los alumnos pueden también variar en función de la complejidad de los mismos y del nivel que tengan los estudiantes, por lo que el abanico de posibilidades a la hora de trabajar con juegos es inmenso.

Ya no solo hablamos del planteamiento de juegos, sino que también se pueden proponer acertijos matemáticos con los que trabajar todo lo anterior y que pueden hacer que los discentes estructuren su capacidad de pensamiento matemático.

Por último, cerraremos el texto con una frase de Martin Garden, que podemos encontrar en (Gardner, 2018) y que dice así:

“Con seguridad el mejor modo de despertar a un estudiante consiste en presentarle un juego matemático intrigante, un puzle, un truco mágico, una paradoja, un modelo o cualquiera otra de entre una veintena de posibilidades que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas.”

• Berlekamp, E. R., Conway, J. H., & Guy, R. K. (2001). Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 1. Natick. Massachusetts: AK Peters/CRC Press.
• Berlekamp, E. R., Conway, J. H., & Guy, R. K. (2003a). Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 2. Natick. Massachusetts: AK Peters/CRC Press.
• Berlekamp, E. R., Conway, J. H., & Guy, R. K. (2003b). Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 3. Natick. Massachusetts: AK Peters/CRC Press.
• Berlekamp, E. R., Conway, J. H., & Guy, R. K. (2004). Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 4. Natick. Massachusetts: AK Peters/CRC Press.
• Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas. Libros del Zorzal.
• De Guzmán Ozámiz, M. (1986). “Juegos matemáticos en la enseñanza”. Boletín de la Sociedad Puig Adam de profesores de matemáticas. Vol. 10 (pág. 25-44).
• Edo, M., Deulofeu, J., Badillo, E., & Baeza, M. (2008). “Estudio del paralelismo entre las fases de resolución de un juego y las fases de resolución de un problema”. Unión. Revista Iberoamericana de Educación Matemática, Vol. 14 (pág. 61-75).
• Gardner, M. (2008). Matemática para divertirse. Providencia. Santiago de Chile: RIL Editores.
• Gardner, M. (2018). Carnaval matemático. Madrid: Alianza Editorial.
• Gairín Sallán, J. (1990). “Efectos de la utilización de juegos educativos en la enseñanza de las matemáticas”. Educar, Vol. 17 (pág. 105-118).
• Morales, M. A. (2017). El Juego del Drago. Consultado el 15-09-2022 en https://elpais.com/elpais/2017/12/14/el_aleph/1513264299_865763.html
• Sánchez, J. M. C., Palmero, J. D., Sánchez, J. F. G., Lalanda, J. M., & Sánchez, M. R. (2004). “Análisis y experimentación de juegos como instrumentos para enseñar matemáticas. Suma, Vol. 47 (pág. 47-58).
• Vidal, R. (2009). La Didáctica de las Matemáticas y la Teoría de Situaciones. Consultado 15-09-2022 en https://educrea.cl/wp-content/uploads/2016/01/DOC-La-Didactica.pdf