Estima bien y vive mejor

En la vida cotidiana a veces nos encontramos con cantidades grandes que no sabemos interpretar. Cuando hay incendios en los bosques se habla de cientos o miles de hectáreas quemadas, cuando hay sequía se habla de la capacidad de los embalses en hectómetros cúbicos, o cuando se habla de presupuestos de obras públicas se habla de muchos millones de euros.

Estos datos son fruto de estimaciones y al oír hablar de estos números podemos tener la sensación de no hacernos una idea aproximada de lo que estamos hablando, y por lo tanto somos vulnerables a cualquier información errónea.

En este artículo se dan pautas y ejemplos de cómo podemos implantar la estimación en el aula.

Palabras clave

Estimación, matemáticas, Problemas de Fermi, anumerismo, grandes magnitudes

In daily life, we sometimes find large quantities that we do not know how to interpret. When there are fires in the forests, they talk about hundreds or thousands of hectares burned, when there is drought they talk about the capacity of the reservoirs in cubic hectometres, or when they talk about public budgets they talk about many millions of euros.

These data are the result of estimates and when hearing about these numbers we can have the feeling of not having an approximate idea of what we are talking about, and therefore we are vulnerable to any misinformation.

This article provides guidelines and examples of how we can implement estimating in the classroom.

Keywords

Estimation, mathematics, Fermi problems, anumerism, large magnitudes

1. Introducción

En la vida cotidiana a veces nos encontramos situaciones que nos ponen de manifiesto que las competencias estimativas de las personas adultas en magnitudes inalcanzables, en general, no son buenas. Por magnitudes inalcanzables entendemos aquellas magnitudes que no las tenemos al alcance para poderlas manipular directamente: ver, tocar, pesar, o medir. En esta línea encontramos Paulos (1990) que nos habla de la incapacidad de la mayoría de personas para aprender la ley de los grandes números lo que puede tener repercusión en decisiones personales y aumentan nuestra vulnerabilidad ante informaciones erróneas que puedan aparecer en medios de comunicación u otros.

Un ejemplo de que las estimaciones de magnitudes inalcanzables no son lo suficientemente buenas lo podemos encontrar en las manifestaciones, donde por lo general la policía y la organización no se ponen de acuerdo con el número de manifestantes.

La información errónea que aparece en los medios de comunicación puede ser errónea por descuido (unos ceros de más o menos en unos presupuestos de estado, …) o intencionada como las cifras de asistencia en actos políticos que a veces es muy por encima de los aforos de los espacios donde se realizan [1]. Todo ello nos conlleva a que si no desarrollamos la competencia de estimar las magnitudes que no tenemos al alcance y de valorar la información que nos llega, como ciudadanos somos vulnerables a cualquier engaño.

Una estimación es un cálculo aproximado que por lo general supone una o más aproximaciones, efectuado para dar respuesta preliminar a un problema.

La estimación matemática está incluida en el currículo de todas las etapas de la enseñanza obligatoria, y aquí se propone enseñar, a secundaria, la estimación de magnitudes a partir de problemas de Fermi, así como caracterizar las estrategias y capacidades estimativas que ponen en juego a la hora de resolver este tipo de problemas.

Por problemas de Fermi entendemos un tipo de problemas propuestos por Enrico Fermi (1901-1954), físico italiano y ganador del Premio Nobel de 1938, sobre estimación de magnitudes, normalmente inalcanzables, sólo usando la cabeza y sin consultar bases de datos o internet. Él proponía a sus alumnos problemas del tipo ¿Cuántos vagones de tren hay en EEUU? , o bien ¿Cuántos afinadores de piano hay en Chicago?. Estos problemas, que a priori parecen imposibles de estimar dada la limitada información disponible, son conocidos como problemas tipo de Fermi. En la actualidad este tipo de problemas forman parte de procesos selectivos del personal para el ingreso en grandes empresas como Google o Microsoft para seleccionar a los mejores ingenieros o técnicos.

2. La estimación en el campo de la investigación

Hogan y Brezinski (2003) hacen un resumen histórico de las investigaciones existentes sobre estimación. Según ellos, las primeras investigaciones formales en estimación las encontramos en el campo de la Psicología y datan de 1890, cuando Cartel (1890) pedía que los estudiantes duplicaran mentalmente el tiempo entre dos toques de lápiz que él hacía sobre una mesa. Al largo de gran parte del siglo XX todas las investigaciones hechas sobre estimación son en el campo de la Psicología, y no es hasta finales del siglo XX que los matemáticos interesan por el tema y aparecen las primeras investigaciones en estimación que vienen desde el campo de la educación matemática.

Según Hogan y Brezinski, existen 3 tipos de habilidades de estimación: la numerosidad, la estimación de medidas y el cálculo estimativo; y las estrategias para estimar cada uno de estos tipos son diferentes. Por numerosidad se refieren a la estimación del número de elementos de una colección que generalmente se presenta de tal manera que no se pueda hacer el recuento exacto de los elementos (por ejemplo contar un conjunto de puntos que va de 5-200 que se muestra por pantalla en un lapso de tiempo de 1 segundo, ...). por estimación de medidas entienden la estimación de una magnitud física (longitud, superficie, volumen, masa, ...) de un objeto común que se muestra pero no se deja medirlo por métodos tradicionales. Por cálculo estimativo se refieren al cálculo numérico donde redondean los números para simplificar los cálculos.

Según Ärlebäck (2009), antiguamente cuando no había ni calculadoras electrónicas ni ordenadores, conocer el orden de magnitud de unos cálculos era crucial para los físicos antes de gastar esfuerzos y tiempo en emprender cálculos complicados. Con la aparición de calculadoras y ordenadores estos problemas quedaron relegados, y no es hasta el final del siglo XX que los investigadores en educación de las matemáticas y de la física resaltan la importancia de este tipo de problemas y estudian los beneficios para el mundo de la educación.

Según Ärlebäck, un problema de Fermi es muy rico desde los puntos de vista siguientes:

• Accesibilidad: puede ser abordado por todos los estudiantes individuales y resuelto en diferentes niveles de complejidad. No necesariamente exige conocimientos matemáticos previos.
• Realista: tiene una clara conexión con el mundo real.
• Problema abierto: la estrategia para abordar el problema no es inmediata, y por tanto, pone en juego construcciones anteriores, concepciones, experiencias, estrategias y otras habilidades cognitivas.
• Estimaciones: a falta de datos numéricos existe la necesidad de hacer estimaciones razonables.

Una de las maneras para resolver problemas de Fermi es la modelización matemática.

Schoenfeld (1985) propuso un problema de Fermi, llamado "The cell problem" que decía "Estima tan cuidadosamente como puedas, cuántas células puede tener un adulto de estatura media. ¿Cuál sería la estimación superior razonable? ¿Y la estimación razonable inferior? ¿Cuántas células crees que tienes, en tus dedos?" y estudió como los alumnos modelaban el problema. Se fijó en las diferentes fases o tareas que se llevaban a cabo en la modelización en función del tiempo y lo representó en diagramas. Vio que seguían ordenadamente las fases de modelización siguientes: Leer, Analizar, Explorar, Planificar, Implementar y Verificar.

Posteriormente, a principios del siglo XXI, encontramos varias investigaciones que concluyen que la modelización matemática es cíclica.

Ärlebäck (2009) propone un modelo, M.A.D. (Modelling Activity Diagram), para analizar la secuencia temporal de la modelización de los problemas de Fermi. Este modelo se sustenta en el modelo propuesto por Shoenfeld pero introduce la fase "Estimación". Las fases son: Leer (R), Modelar (M), Estimar (E), Calcular (C), Validar (V) y Escribir (W).

Con este modelo, Ärlebäck (op.cit.) analiza la resolución, hecha por estudiantes de secundaria, del problema “En el Empire State Building,  ¿cuánto tarda en subir el ascensor turístico hasta el último piso? Si uno decide subir a pie por las escaleras, ¿cuánto tiempo tarda?”. Concluye que los ciclos de modelización no son tan ideales y simplificados, y que los procesos de modelado auténticos se describen mejor como saltos desordenados entre las diferentes fases.

Posteriormente Civil (2013) a partir del modelo MAD, analiza la resolución, hecha por estudiantes de secundaria, del problema “¿Cuántas bañeras llenas de agua harían falta para llenar una piscina?” y concluye que aunque los problemas de Fermi mirándolos en la totalidad presentan saltos entre fases del ciclo de modelización, estos no son tan desordenados como parecen, ya que estos problemas al ser tan abiertos hay que hacer suposiciones y romperlos en partes, y en cada parte sí que se sigue el ciclo de modelización.

3. La estimación en la educación obligatoria

En el Informe Cockcroft (1985) ya se habla de la importancia introducir la estimación en la escuela primaria y secundaria, porque se necesita en muchas actividades de la vida adulta.

Posteriormente la estimación se introdujo en los currículos escolares de diferentes países, incluido el nuestro, y actualmente en España la estimación matemática está incluida en el currículo de todas las etapas de la enseñanza obligatoria, tal y como consta tanto en la LOE (Ley orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de educación) como en la LOMCE (Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la mejora de la calidad educativa).

Por lo tanto vemos que dentro del compromiso del sistema educativo de formar personas que en terminar la ESO sean competentes en la vida se ha incluido la estimación de magnitudes. Según Sriraman & English, (2010) la estimación es importante porque “Los niños pequeños tienen una exposición diaria a los medios de comunicación y viven en medio de nuestra sociedad impulsada por datos y con datos explosivos. Necesitamos asegurarnos de que se dan oportunidades para desarrollar temprano las habilidades y los conocimientos necesarios para navegar y resolver los problemas que enfrentarán cada vez más fuera del aula".

En la etapa de la educación primaria, la manera recomendada de incorporar la estimación en el currículo es centrándose en estimación de medidas de objetos que se tienen en frente, se pueden visualizar pero sin poderlos tocar ni usar aparatos de medida estándares (Segovia y Castro (2009)).

En la etapa de la educación secundaria, los problemas de Fermi son una oportunidad para introducir la estimación y modelización en las aulas Albarracín, y Gorgorió(2012). Estos problemas se centran en plantear al alumno una situación en que hay que estimar el valor de una magnitud real considerablemente grande, fuera de su alcance de conocimiento cotidiano.

4. Estrategias

Las estrategias usadas en resolver estos problemas de estimación dependen de la magnitud a estimar. Son muy abiertos y ponen en juego varias habilidades cognitivas porqué generalmente se tiene que imaginar lo que se tiene que estimar y también imaginar y hacer suposiciones sobre las herramientas o procesos para llegar a ello. Los resultados normalmente no son un valor exacto, sino que se trata de dar un número de un orden de magnitud que sea posible.  Las estrategias para afrontar este tipo de problemas de estimación son:

• Romper el problema en partes.
• Reducir el problema a uno más pequeño y hacer una proporción.
• Comparar lo que se tiene que medir con un objeto conocido.
• Comparar con otra situación similar más familiar y hacer una proporción.
• Hallar mitades. Si la longitud a estimar es demasiado grande se estima la mitad y si aún ésta fuera grande, se estima la mitad de la mitad y así sucesivamente.
• Visualizar la unidad que se va a usar en la estimación y repetirlo mentalmente sobre el objeto a medir.
• Pedir información a una fuente externa.

5. Pautas  y preguntas para la implantación de la estimación de magnitudes inalcanzables en el aula de secundaria

El punto de partida de las actividades puede ser un contexto próximo a los alumnos (como el centro educativo o población de residencia), una noticia de actualidad controvertida o cualquier contexto de la vida. También se tiene que prestar atención no sólo en la actividad en sí, sino también a las preguntas y reflexiones se les va a plantear a los estudiantes si se quedan bloqueados. Es importante que los alumnos no sólo den un resultado, sino que expliquen el proceso y suposiciones hechas. También es importante comparar el resultado con alguna medida más familiar para darle significado a la solución dada.

Para enseñar a los alumnos a estimar, las primeras actividades deben ser más pautadas, y posteriormente, una vez ya se han familiarizado con este tipo de problemas ya se lanzan preguntas más abiertas sin pautas.

Las primeras estimaciones tienen que ser con pasos guiados. Por ejemplo, Jareño [2] propone las siguientes actividades:

Problema 1: Las personas tenemos aproximadamente unos 25.000.000 de glóbulos rojos a la sangre. Si pusiéramos todos los glóbulos rojos en línea, ¿cuánto mediría de largo la línea? (Datos el diámetro de un glóbulo rojo es de 7 µm).

Problema 2: La superproducción Avatar, de James Cameron, recaudó, en sólo 17 días, más de 1.000 millones de dólares (698 millones de euros) en las salas de cine de todo el mundo. Suponiendo que una entrada de cine cuesta unos 7€, ¿cuántas personas han ido a ver la película en los 17 primeros días?

1. Si sólo hubiera una sala de cine y haciendo cola a la entrada del cine una persona ocupa unos 40 cm, ¿cuántos quilómetros de largo tendría la fila?
2. Teniendo en cuenta que la distancia entre Barcelona y Pequín es de unos 8800 km, ¿cuántas vueltas daría la cola? Si los pusiéramos todos en línea, llegarían a dar una vuelta a la Tierra? (perímetro aproximado de la Tierra 40.000km).

Problema 3: El fichaje de Cristiano Ronaldo por el Real Madrid costó 94 millones de euros. Si se hubiera destinado este dinero a apadrinamiento de niños y niñas de países con problemas de desarrollo económico (25€ mensuales por niño), ¿cuántos niños se podrían apadrinar durante 10 años con el cose del fichaje?

Una vez, practicado con estos problemas,  ya se pueden hacer preguntas abiertas sin pautar. Es interesante plantearlas con una frase o párrafo para contextualizar en qué momento podríamos plantearnos estas preguntas

Algunas posibles preguntas sorprendentes planteadas por Albarracín (2013) o en [3] podrían ser:

• ¿Cuántos cabellos tienes en tu cabeza?
• ¿A qué velocidad crece el cabello humano en kilómetros por hora?
• ¿Cuántos metros cuadrados de pizza  consumen todos los alumnos del instituto durante un trimestre?
• ¿Cuántas hojas de papel DinA4 consumen todos los alumnos del instituto en un curso escolar?
• ¿Cuánto dinero costaría comprar todos los coches (nuevos y viejos) de nuestra población?
• Si se quitaran las cuerdas de todas las raquetas de tenis de España y se pusieran una a continuación de otra, ¿cuántos viajes de ida y vuelta de Barcelona a Madrid ocuparían?
• ¿Cuántas briznas de césped tiene el campo de fútbol del Barça?
• ¿Cuántas entradas de cine se venden en un año en la provincia de Barcelona?
• ¿Cuántos ladrillos se necesitaron para construir nuestro instituto?
• ¿Cuántos coches pasan por delante del instituto en un día?
• ¿Cuántas personas de Barcelona cogen el metro en un día?
• ¿Cuántos mensajes WhatsApp se envían en un día en Cataluña?
• ¿Cuántos correos electrónicos Spam no deseados reciben al año todos los alumnos del centro?
• ¿Cuánta agua se gasta en la cisterna del váter de tu casa en un mes?
• ¿Cuántas toneladas de basura se generan al pueblo en un año?
• ¿Cuántos alumnos pasarán por el instituto en los próximos 100 años?
• ¿Cuántos vasos de agua se necesitan para llenar una piscina?
• ¿Cuánto tiempo tardaríamos en ir a Pekín en bicicleta?
• ¿Cuántas monedas de euro caben en un metro cúbico?
• ¿Cuántas personas mueren aproximadamente cada día en todo el mundo?

Estas preguntas y muchas más son las que podemos proponer para estimar.

Conclusiones

Para concluir, debemos tener en cuenta que no podemos disociar el aprendizaje realizado en las aulas, de las necesidades de la sociedad. La práctica educativa orientada a estimar tiene como finalidad aportar información que oriente en la toma de decisiones y procesos a los que nos podamos enfrontar cada día.

Los problemas de Fermi son muy potentes para ayudar a pensar matemáticamente: pueden ser resueltos en diferentes niveles de complejidad y al ser tan abiertos la estrategia para abordarlos no es inmediata, y por tanto, pone en juego construcciones anteriores, concepciones, experiencias, estrategias y otras habilidades cognitivas.

Además en las puestas en común de los resultados frente al grupo clase son muy ricos porque se potencia la competencia comunicativa dado que los problemas de Fermi son tanto abiertos que se tiene que valorar si el resultado es plausible. Además se puede planificar conjuntamente con algún otro departamento, por ejemplo con el de ciencias, para plantear una pregunta multidisciplinar que entren en juego conceptos que estén trabajando desde la otra disciplina, y así integrar las matemáticas en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Porque tal y como dijo Jean Piaget “La principal meta de la educación es crear hombres y mujeres capaces de hacer cosas nuevas y no simplemente de repetir lo que han hecho otras generaciones: hombres y mujeres creadores, inventores y descubridores. La segunda meta de la educación es formar mentes que puedan ser críticas, que puedan verificar y no aceptar todo lo que se les ofrece”.