05/02/2018 por Eneko Apaolaza Etxeberria

El lenguaje matemático en Educación Secundaria

 

El modelo didáctico que se emplea en nuestro sistema educativo, no describe bien el ser de la propia matemática (Kaput, Carraher, & Blanton, 2007, Schoenfeld, 1994; Tarmizi, Ayub, Booker & Windsor, 2010). Para una mejor comprensión del aspecto descriptivo, el proceso de enseñanza de las matemáticas se encamina hacia su propio ser (ontología), determinando los métodos que se utilizan para este proceso (epistemología). A la hora de representar estos métodos, se utiliza un lenguaje matemático que se denomina conocimiento algebraico (Schoenfeld, 1992; Blanton & Kaput, 2011; Katz & Barton, 2007; Dindyal, 2010). En este artículo se explica cómo se construye el conocimiento algebraico en la educación secundaria.

Palabras clave

Lenguaje matemático, ontología, epistemología


The didactic model, when where use in the education system, do not describe well the character of sciences mathematics (Kaput, Carraher, & Blanton, 2007; Schoenfeld, 1994; Tarmizi, Ayub, Booker & Windsor, 2010). To overcome the obstacle, where guide the teaching process on the ontological aspect of mathematics, and where state the methodical process, when where use in these process (epistemology). Where use some tools for representing these methodical process, and where nominate these tools algebraic thinking (Blanton & Kaput, 2011; Katz & Barton, 2007; Dindyal, 2010). In these article where explain, how build the algebraic thinking in secondary level.


Keywords

Algebraic thinking, ontology, epistemology


En el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Educación Secundaria Obligatoria, se trabajan unos contenidos comunes: Resolución de problemas, Números y álgebra,  Geometría y medida, Funciones y Gráficas, Estadística y probabilidad (LOMCE, URTEA). De esta manera la adquisición de la comprensión matemática se efectúa en torno a diferentes aspectos de conocimiento. Investigaciones recientes, muestran que este modelo didáctico de enseñanza tiene carencias en el aspecto descriptivo (Kaput, Carraher, & Blanton, 2007, Tarmizi, Ayub, Booker & Windsor, 2010).

El cuatro de octubre de 1957, la Unión Soviética lanzó un satélite espacial hacia la luna. Preocupados por esta superioridad tecnológica, en Estados Unidos dio comienzo una reconversión tecnológica que afectó también a la educación. Se debe de situar dentro de este marco el modelo de la corriente didáctica de Schoenfeld (Schoenfeld, 1992, 1994). De estas investigaciones derivan muchas conclusiones, pero una de ellas va tomando cada vez más cuerpo: La utilización del lenguaje matemático. Se investiga en torno al propio ser de la Matemática (ontología), y se describen los métodos que se utilizan cuando se encamina el estudio de la matemática hacia su propio ser (epistemología). Para representar estos métodos, se utiliza un lenguaje matemático. A medida que aumentan las investigaciones, cada vez irá tomando más fuerza la necesidad de profundizar en la utilización de este lenguaje matemático, con el objetivo de profundizar en el aspecto descriptivo de las matemáticas.

El Conocimiento Algebraico surge, cuando se encaminan las investigaciones a la enseñanza primaria. Se investigan los métodos (epistemología) que se utilizan para describir el propio ser (ontología) de la matemática, en Educación Primaria (Blanton & Kaput, 2011). Se observa que para representar o escribir estos métodos, se utilizan unos instrumentos matemáticos, y que estos instrumentos pertenecen al área de conocimiento del álgebra (Katz & Barton, 2007), de esta manera los autores denominan este lenguaje matemático como conocimiento algebraico (algebraic thinking). Son muchas las investigaciones en educación Primaria sobre el conocimiento algebraico, y la metodología de investigación es bastante completa.

Son menos las investigaciones, en Educación Secundaria, sobre el conocimiento algebraico. Partiendo del modelo de Schoenfeld (Schoenfeld, 1992, 1994), y teniendo en cuenta la aplicación que tiene este modelo en la Educación Primaria, Dindyal (Dindyal, 2010) construye el conocimiento algebraico en Educación Secundaria.

En este artículo se explica primero: el modelo de Schoenfeld y las primeras consecuencias que tiene la aplicación del modelo en el conocimiento matemático. En segundo lugar: Se explica cómo se aplica este modelo en Educación Primaria, como surge el conocimiento algebraico y como se formaliza. Posteriormente se comentan los primeros intentos de implantación de este modelo en Educación Secundaria, dando lugar a la definición que propone Dindyal del conocimiento algebraico, para Educación Secundaria (Dindyal, 2010), finalmente se completa el modelo de Dindyal, mediante otros autores  relevantes (Janvier & Janvier, 1987; Radford, 2006).

1. Marco teórico

El modelo de Schoenfeld, hace referencia a una corriente didáctica. En un afán de hacer una reconversión del modelo educativo, son muchas las investigaciones y los trabajos que se realizan, pero una de ellas cada vez va tomando más cuerpo: la utilización del lenguaje matemático.

El modelo de Schoenfeld: Los investigadores, afirman que el modelo didáctico de las matemáticas tiene carencias en el aspecto descriptivo, que no se describe bien el propio ser de las matemáticas. Con intención de superar este problema, las investigaciones se encaminan a analizar el lenguaje que describe el ser de las matemáticas. El lenguaje matemático que se utiliza (conocimiento algebraico), para representar los métodos (epistemología) que encaminan la matemática hacia su propio ser (ontología) (Schoenfeld, 1992, 1994).

Educación Primaria: Las primeras investigaciones se realizan en la Educación Primaria. Se determina la ontología de la matemática de Educación Primaria (Katz & Barton, 2007), se observan los métodos (epistemología) que se utilizan cuando la matemática se encamina hacia su ontología (Blanton & Kaput, 2011), y se termina concretando cual es el lenguaje matemático que utilizan los alumnos para representar estos métodos (Booker & Windsor, 2010; Grandau & Stephens, 2006). Este lenguaje matemático se sitúa dentro del área del álgebra, y los autores la denominan conocimiento algebraico (algebraic thinking).

Son menos abundantes las investigaciones sobre el conocimiento algebraico en Educación Secundaria. Una vez determinado el conocimiento algebraico de Educación Primaria, se investiga con este modelo en el inicio de la Educación Secundaria (Grandau & Sthephensen, 2006). En educación Secundaria se ha investigado, el conocimiento algebraico en algunos temas concretos: En los procesos de generalización del sistema numérico y en geometría (Booker & Windsor, 2010). Tomando como base la corriente didáctica de Schoenfeld (1992, 1994), Dindyal investiga el conocimiento algebraico en Educación Secundaria, utilizando un marco teórico bastante amplio, y propone una definición del conocimiento algebraico de Educación Secundaria (Dindyal, 2010).

En este artículo se completa la definición que propone Dindyal (2010), con otros autores, que son relevantes en algunos aspectos del conocimiento algebraico (Janvier & Janvier, 1987; Radford, 2006).

2. Modelo de Schoenfeld

El origen del conocimiento algebraico a de situarse en la corriente ideológica de  Schoenfeld (Schoenfeld, 1992, 1994). Todavía no ha surgido el conocimiento algebraico, pero son muchos los intentos que se están haciendo para la creación de un nuevo modelo didáctico, una de estas ideas cada vez va tomando más cuerpo: la utilización del lenguaje matemático (Schoenfeld, 1992, p. 4).

La búsqueda de un nuevo modelo didáctico surge por la necesidad de superar las carencias que tiene el actual modelo en el aspecto descriptivo, que son las siguientes: El modelo didáctico que se utiliza en matemáticas falla, Steen (1988) y Hoffman (1989), aseguran que el modelo didáctico es antiguo, y prosiguen afirmando lo siguiente: Cuando los alumnos estudian las matemáticas en su seriedad, desarrollan una experiencia muy enriquecedora en su propio mundo, y el currículum no tiene en cuenta esta experiencia, encaminando el estudio de las matemáticas de una manera artificial. Según estos autores: ‘Cuando se estudia la matemática, como un conjunto de diferentes temas, estudiar la matemática se convierte en tener la capacidad de saber resolver el tipo de problemas asociados al tema, de esta manera se deshace el propio ser de la matemática, y falla en el aspecto descriptivo, dejando a un lado el estudio de los métodos que describen las matemáticas. La mitad de los alumnos siente como un fracaso el proceso de aprendizaje de las matemáticas’  (Schoenfeld, 1994, p. 55).

En un intento de superar las carencias descriptivas del modelo didáctico matemático, se realiza una investigación del proceso de la enseñanza. En esta investigación se investigan la ontología y la epistemología de la matemática. La descripción de la ontología de la matemática viene dada por Stenn (1988), y la epistemología la define el propio Schoenfeld. Cuando describe la epistemología de la matemática, se mencionan indirectamente las primeras ideas sobre el conocimiento algebraico, y al finalizar el artículo menciona con qué métodos se utilizan estas herramientas matemáticas.

A la hora de describir la ontología de la matemática se cita a Steen en Schoenfeld: Según la definición clásica de la matemática: “es la ciencia de los números y el espacio” (Steen, 1988, p. 611). Esta definición no describe bien la totalidad de la ciencia matemática, deja a un lado muchas de las regularidades que se dan en matemáticas: la investigación del azar, la teoría de conjuntos... aunque el origen de la matemática, sean la investigación de los números y del espacio, desde entonces la ciencia matemática ha evolucionado, y esta definición no describe bien muchas de las regularidades que se dan hoy en día en matemáticas. Los científicos matemáticos, cuando definen las matemáticas mencionan: La teoría de los números, aplicaciones, las claves matemáticas,...   y se sumergen en la tarea de la búsqueda de las reglas matemáticas que describen la ciencia. La ciencia matemática se divide en dos grandes bloques: matemática teórica y matemática aplicada. El objetivo de la matemática teórica es la determinación de las reglas o los principios originales que rigen el sistema axiomático. La matemática aplicada, se fundamenta en la observación, experimentando e investigando se va determinando las reglas que verifican los objetos. La clave que describe la matemática se encuentra en su propio ser, se basa en la búsqueda de los principios originales, es decir en la búsqueda de las reglas. La matemática es la ciencia de las reglas, y aunque este punto de vista sea antiguo, no ha perdido actualidad, su contundencia se encuentra ahí y no le resta nada al marco que describe su propio ser. La matemática es la ciencia de las reglas (Steen, 1988). (Schoenfeld, 1994, p.55)

Después de definir la ontología matemática se investiga sobre la epistemología de la matemática en el libro de Schoenfeld: ‘La matemática es la ciencia del orden y las reglas. La ciencia de los objetos abstractos, tomando la observación como verdad estandarizada, se desarrolla mediante la lógica: La observación, Simulación y la experimentación son los caminos que conllevan al descubrimiento de la verdad.’(Schoenfeld, 1992, p. 28). Los instrumentos matemáticos que se utilizan para esta labor son: La abstracción, la representación simbólica y la manipulación simbólica (Schoenfeld, 1994, p. 60 1992, p. 29).

Schoenfel menciona los instrumentos que se utilizan en el qué hacer matemático:

  • Abstracción.
  • Representación simbólica.
  • Manipulación simbólica.

Posteriormente conformarán el conocimiento algebraico de Educación Primaria y Educación Secundaria. Prosigue describiendo la utilización de estos instrumentos.

En el proceso de aprendizaje que nos lleva al conocimiento matemático, para poder desarrollar el punto de vista matemático, hay que tener una previsión para poder validar y aplicar, los procesos matemáticos y abstractos. Estos instrumentos hay que utilizarlos con el objetivo de entender la estructura matemática, y tienen que ser válidos para desarrollar el conocimiento matemático. (Schoenfeld, 1994, p. 60).

Al finalizar el artículo concluye cuales son los métodos que se utilizarán cuando la matemática se encamina a su ontología. La matemática es la ciencia de las reglas. Y los métodos que se utilizan para la búsqueda de dichas reglas o normas son los siguientes:

  • Para ver la estructura percibida.
  • Para representar las reglas mediante símbolos.
  • Para proponer conjeturas y demostrar las afirmaciones.
  • Para hacer abstracciones y generalizar.

(Schoenfeld, 1994, p. 68).

Creación del conocimiento algebraico.

Ontología y epistemología de la Educación Primaria: Haciendo un desarrollo histórico del Álgebra, se investiga su repercusión en el curriculum de la matemática: ‘En educación Primaria, el sistema numérico tiene mucha fuerza, las primeras ideas algebraicas surgen en consecuencia del sistema numérico y sus procesos de generalización. Cuando se estudia la Geometría los símbolos se utilizan para representar conceptos geométricos, y se realizan mediante dibujos (diagramas) geométricos los primeros procesos de generalización; las reglas que se utilizan en el proceso de generalización son reglas aritméticas. El origen del álgebra, no es la necesidad de generalizar la aritmética, sino la necesidad de resolver ciertos problemas, las técnicas que se utilizan en la resolución de estos problemas, han creado las reglas aritméticas, y cuando se han generalizado ha surgido el Álgebra’ (Katz & Barton, 2007, p. 198).

En opinión de Kaput (2008), la aritmética abre la posibilidad de investigar: reglas, conjeturas, y las relaciones entre las cantidades, a través de las cuales se aprende a modo general la matemática de Educación Primaria. La estructura matemática de Educación primaria se basa en la aritmética, por una parte: Estudiar los procesos de generalización y diferentes utilidades de la aritmética, y por otra parte: saber aplicar las reglas de la  aritmética a otras ciencias, significa que se entiende la utilización del razonamiento ligado a una estructura sintáctica.

Hay dos métodos que encaminan la matemática a su qué hacer, en educación primaria. La primera: Utilizando un sistema simbólico formal y convencional, crear representaciones y generalizar. Segundo: Razonar mediante formas simbólicas, haciendo manipulaciones sintácticas sobre estas formas. Los alumnos de educación primaria utilizarán unas herramientas matemáticas para representar estos métodos. Estos instrumentos matemáticos, tocan tres aspectos que se clasifican en el conocimiento del Álgebra: 1) el estudio de la formación del sistema abstracto válido para hacer operaciones y crear relaciones. 2) El estudio de funciones, relaciones y sus variaciones. 3) La justificación de una circunstancia dada y la aplicación de un modelo de lenguaje para el desarrollo del razonamiento. Puesto que estos instrumentos se sitúan en el área del Álgebra los investigadores lo denominan ‘conocimiento algebraico’, del inglés ‘algebraic thinking’. (Blanton & Kaput, 2011, pp. 5-7)

Las investigaciones realizadas en Educación Primaria determinan el conocimiento algebraico de la manera siguiente:

  • Argumentar y utilizar símbolos
  • Utilizar símbolos para escribir diferentes representaciones
  • Simbolizar las reglas y los procesos de generalización.

Una vez determinado el conocimiento algebraico de Educación Primaria las investigaciones se encaminan a determinar el conocimiento algebraico de educación Secundaria. Se propone el conocimiento algebraico del inicio de educación secundaria como el conocimiento algebraico de educación primaria, y de la misma manera que se ha hecho en primaria, siguiendo el modelo trazado por Schoenfeld, se determina el conocimiento algebraico de educación secundaria (Schoenfeld, 1992).

El conocimiento algebraico de la educación secundaria.

Autores: Son menos abundantes las investigaciones que se han realizado sobre el conocimiento algebraico de la educación secundaria, si se comparan con las realizadas en educación  primaria. Grandau y Sthephens (2006), investigan la utilización del conocimiento algebraico de primaria en el área de la geometría, y la proponen para utilizarla en el inicio de la educación secundaria, mencionando los siguientes aspectos: Igualdad, el sentido de las operaciones y generalizaciones. Según estos autores ‘el álgebra es el hilo conductor de las diferentes áreas que se estudian en la matemática’ (Grandau & Stephens, 2006, p. 344). Booker y Windsor (2010), determinan cual es el conocimiento algebraico en educación secundaria, en el área de la geometría, y en los procesos de generalización de los sistemas numéricos, mencionando los siguientes aspectos: Utilización de símbolos, utilización de diferentes tipos de representación, y la utilización de las reglas para los procesos de generalización.

 El autor referente: Para investigar la utilización del conocimiento algebraico de la educación secundaria, se ha tomado como referencia el modelo propuesto por Dindyal (Dindyal, 2010). Dindyal ofrece un marco térico amplio para investigar el conocimiento algebraico. El desarrollo de su trabajo tiene como base el modelo de Schoenfeld (Schoenfeld, 1992, 1994). Dindyal describe el conocimiento algebraico de la educación secundaria como tres componentes: Utilización de símbolos y relaciones algebraicas, utilización de diferentes formas de representación, y utilización de reglas o normas y generalizaciones. (NCTM, 1992, 2001; Herbert & Brown, 1999; Wagner & kieram, 1999).

Dindyal profundiza sobre cada componente del conocimiento algebraico, contrastando con la opinión de otros autores, y posteriormente determina como desarrollan estos aspectos los alumnos. Diseñando para ello unos problemas matemáticos, el conocimiento algebraico en educación secundaria es la siguiente, según las investigaciones de Dindyal (2010):

  1. Utilización de símbolos y relaciones algebraicas.
  2. Utilización de diferentes formas de representación.
  3. Utilización de normas y generalizaciones.

Dindyal explica en que se basa cada uno de los componentes del conocimiento algebraico Dindyal (2010), en esta investigación algunos aspectos del conocimiento algebraico también se han contrastado con otros autores: La utilización de símbolos y relaciones algebraicas, y la utilización de diferentes formas de representación con Janvier & Janvier (1987), y la utilización de reglas o normas y generalizaciones con Radford (2006).

1. Símbolos y relaciones algebraicas: un símbolo puede ser un sonido o una imagen asociada mentalmente a una idea, según Skemp (1987). La idea asociada al símbolo se conoce como referente. El símbolo se entiende a menudo como un signo, y el referente como el significado.

Pimm (1995) afirma que el símbolo es el sustituto de una carencia conceptual. En álgebra se utilizan símbolos literarios para representar: variables, indeterminadas, constantes, parámetros y diagramas. En geometría también se utilizan símbolos visuales y diagramas. Skemp añade que los símbolos se utilizan en gran medida para poder encaminar el control del pensamiento.

Queremos recordar que en matemáticas encontramos en algunos ejemplos concretos la posibilidad de asociar adecuadamente el signo y el significado: cuando se ha utilizado un signo para sustituir un significado, se hace una metonimia, dándole al signo el estatus de símbolo, y el signo se utiliza como una metáfora de su significado (Janvier & Janvier, 1987, p. 94).

En cuanto a las relaciones algebraicas, Sfard & Lichevski (1987) afirman que los alumnos desarrollan dos tipos de compresión diferentes, primero comprenden las operaciones aritméticas que componen la relación algebraica, y posteriormente comprenden la relación algebraica como una unidad estructurada. Es decir primero desarrollan una comprensión operacional, y posteriormente desarrollan una comprensión estructural. Los alumnos aprenden el sistema de numeración desde el inicio de los cursos escolares, las relaciones algebraicas surgen a consecuencia de generalizar los números y su significado, así pues las relaciones algebraicas se perciben primeramente como una serie de operaciones aritméticas. Por ejemplo: la relación algebraica 5(3x + 7) - 2, representa un número desconocido x, que ha sido multiplicado por tres, posteriormente se le ha sumado al resultado siete unidades... Se denomina comprensión operacional, se entiende más tarde que si x representa un número, entonces toda la relación algebraica 5(3x+7)-2, representa otro número que tiene su propia estructura, se denomina compresión estructural. Los alumnos desarrollan primero una compresión operacional y posteriormente una comprensión estructural, el traspaso de esta comprensión no es inmediato, es continua, los alumnos deben concretar el resultado de las operaciones y saber generalizar el resultado a diferentes contextos, se produce mediante el desarrollo de las capacidades de los alumnos.

2. Utilización de diferentes formas de representación: la representación es el reflejo de la idea que tenemos sobre un concepto: ¿Cómo puede estar tranquilo el emisor, cuando emite la idea de un concepto, representando mediante unas palabras concretas, para pensar que el concepto que entiende el receptor mediante estas palabras corresponde al mismo concepto que entiende el emisor?

La compresión de los conceptos matemáticos es consecuencia de haberlos pensado, la capacidad que tiene nuestro cerebro de comprender como se realizan las diferentes operaciones. Por ejemplo, con el sistema numérico, se utiliza un sistema particular para representar las cantidades, y la representación numérica se compara con lo que representan los números. La convención general que se utiliza para representar los conceptos es comparar la representación con el significado del concepto. ¿Cómo conseguimos dejar a un lado las múltiples comprensiones particulares (palabras, signos, objetos), y encaminarlos sobre la comprensión convencional?... A mi entender la representación no es una señal que describe la situación interna personal, puesto que las experiencias internas la componen las palabras y los procedimientos personales, y cuando se desarrolla una representación, sólo se desarrolla la parte convencional del procedimiento personal. 

En las representaciones se pueden diferenciar dos componentes básicos: La translación y su representación. La translación es una actividad, en donde se mantiene el significado del concepto, algo parecido a lo que podría hacer un traductor cuando consigue una nueva representación, de un mismo concepto en una lengua diferente. La representación se utiliza para encaminar la idea que tenemos sobre el concepto, hacia una compresión convencional. Dejando a un lado algunas representaciones y desarrollando otras, la representación va evolucionando. Es fácil perderse en este proceso, y es por tanto importante tener presente, saber qué se quiere representar, y saber hacia dónde nos lleva lo que vamos representando. (Janvier & Janvier, 1987, pp. 92-96).

Dentro del conocimiento algebraico, las diferentes formas de hacer las representaciones son las siguientes: Mediante palabras, mediante tablas, mediante símbolos y mediante gráficas. Janvier (1987) define la representación de la siguiente manera: “La representación puede considerarse como la combinación de tres componentes: símbolos escritos, objetos reales e imágenes mentales” (Dindyal, 2010, p. 12).

Según los estándares del año 2000, las representaciones hacen referencia a un proceso y un resultado. El acto de percibir cualquier tipo de concepto o relación matemática, puede ser un proceso, y la forma de representarlo puede ser el resultado.  La representación puede ser interna o externa, la interna es el resultado del proceso mental personal y la representación externa es aquella que se utiliza para comunicar a la opinión convencional (National Councilof Teachers of Mathematics (NCTM).2000).

En opinión de Kaput (1989) cuando se representan las relaciones algebraicas se diferencian dos tipos de comprensión bien diferenciadas: La comprensión sintáctica y la comprensión semántica. La comprensión semántica hace referencia al significado de los componentes de la relación algebraica, y la comprensión sintáctica hace referencia a que el alumno es capaz de manipular el significado de los símbolos siguiendo un esquema de comprensión sintáctica de las representaciones simbólicas matemáticas. Kaput añade que en la utilización de los símbolos se desarrollan estos dos aspectos, en donde se diferencian de una manera clarividente la comprensión semántica y la comprensión sintáctica. Por ejemplo: la relación algebraica x+3=12 tiene un aspecto semántico: El significado de los símbolos que la componen, mediante transformaciones sintácticas vamos cambiando el significado de los símbolos: restamos con tres a ambos lados dela igualdad, y la igualdad sigue siendo una igualdad pero el significado de x cambia, adquiriendo un nuevo significado semántico.

En opinión de Philipp (1992), el aspecto sintáctico es pesado y el aspecto semántico es flexible, y por lo tanto cuando se trabaja con el significado de los símbolos matemáticos, es imprescindible entablar una discusión sobre la adecuada utilización de los diferentes signos literarios para la representación. MacGregor & Stacey (1993) dicen que, cuando un alumno representa una relación algebraica, se ha desarrollado previamente un proceso matemático en donde se incluyen las reglas del aspecto sintáctico y semántico.

3. Normas y generalizaciones. En opinión de Kaput (1999), generalizar es extender la representación de los casos particulares, a una única representación. Mediante ésta representación, cada caso particular puede identificarse explícitamente. Para obtener una representación de los casos particulares a una única representación, la atención debe de centrarse sobre todo: en las normas, procedimientos, estructura y la relación de estos aspectos.

Radford (Radford, 2006) es otro autor que investiga la generalización de las normas del conocimiento algebraico, en los alumnos de 8.º grado (2º ESO), mediante una investigación cualitativa. Radford propone la siguiente definición: Desarrollar la generalización de las normas algebraicamente, es tener la capacidad de determinar una norma general, de las propiedades que verifican los objetos de una secuencia S. Esta representación de la norma, puede aplicarse sobre cada objeto de S, y puede utilizarse directamente para determinar la propiedad de cada objeto de la secuencia S.

Diferencia dos fases en el proceso de generalización de las normas. La primera es la fase inductiva y la segunda es la fase algebraica.

Se denomina fase inductiva, al descubrimiento de la una única norma común, válida para explicar las propiedades de los objetos que conforman la secuencia S. Cuando se identifica una propiedad sobre un objeto de S, el objeto se entiende como un ente que verifica dicha propiedad. Cada objeto de S verifica la propiedad de una manera particular, y determinar cómo verifica cada objeto esta propiedad es determinar la norma que se verifica sobre todos los objetos que conforman la secuencia S, lo que denomina Aristóteles como Genus (Aristotle´s Categories, 2a13-2a18). Cuando se determina  el Genus, el objeto que posee una propiedad pasa a ser el objeto que cumple una norma.

La fase inductiva está ligada a la ontología, y la fase algebraica a la epistemología. La comprensión conceptual sobre los objetos, se desarrolla en su totalidad, y para identificar la propiedad común de cada uno de los objetos, no son tan importantes las propiedades de los objetos, sino las propiedades comunes de todos los objetos. Hay que encontrar el método (epistemología) que determine de que manera verifican  una propiedad todos los objetos de la secuencia S.

En opinión de Kant, la generalización conlleva dos tipos de comprensión: (1) Qué es lo que se generaliza: cuál es la propiedad que verifica cada objeto, y (2) El objeto generalizado: Objeto nuevo y único, cuya propiedad es una norma, que determina la propiedad que cumplen cada uno de los objetos. (Kant, 1974, p. 100). El descubrimiento de la norma no es suficiente, para generalizar en matemáticas, también hay que saber representarlo algebraicamente. La generalización de la norma se desarrolla mediante la relación entre el conocimiento algebraico y el proceso de generalización.

Representar simbólicamente la norma o la propiedad del objeto generalizado (representación algebraica del Genus), se denomina fase algebraica. En la fase algebraica, la norma que se ha representado simbólicamente, pierde su dependencia respecto del objeto (puesto que representa una propiedad que la pueden verificar otros objetos), entonces se produce un proceso de generalización sobre los objetos que conforman la secuencia S (Puesto que la norma es aplicable a otra secuencia objetos S’, que tenga la misma propiedad). Se desarrolla la capacidad de concebir el objeto que posee una propiedad, como la norma que verifican diferentes secuencias de objetos.

La generalización de la norma puede denominarse fase algebraica. Radford añade una nueva fase, en el proceso de generalización: En donde el objeto generalizado, clasifica el esquema que conforman los objetos particulares. Cuando se ha simbolizado la norma, del objeto generalizado, esta norma identifica las propiedades de cada uno de los objetos, de tal manera que a cada uno de los objetos que conforman la secuencia S, le corresponde una forma de la norma. Cada forma de la norma determina la propiedad de cada objeto particular, y por lo tanto el esquema que conforma la secuencia S puede entenderse como las diferentes formas que adopta la norma.

Generalización de las normas:

1) Fase inductiva: creación del Genus,

2) Fase algebraica: simbolización del Genus.

3) Clasificación de los objetos mediante el Genus (Radford, 2006).

Conclusiones

El modelo teórico de este articulo, desarrolla un método novedoso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, con el objetivo de poder superar las carencias que tiene el modelo educativo actual, en el aspecto descriptivo. Según este nuevo modelo, para superar las carencias descriptivas del modelo educativo matemático, se debe de profundizar en la utilización del lenguaje matemático, en el proceso de enseñanza aprendizaje.

En este artículo se ha explicado en qué consiste el lenguaje matemático. Se ha optado por la terminología de conocimiento algebraico, término proveniente del inglés ‘algebraic thinking’.

Referencias

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