Ejercicios para aprender y no morir en el intento »
 

En los primeros apartados del presente documento, el lector podrá encontrar una breve explicación acerca de la importancia que tiene la innovación en nuestra sociedad actual y más aún, en el campo educativo.

Sin embargo, el objetivo que se persigue es el de mostrar nuevos métodos didácticos a utilizar en el aula, centrándonos concretamente, en la realización de actividades de tipo innovador. Es por ello que se pueden encontrar una serie de ejemplos que aun viéndose aplicados al campo de las matemáticas, pueden ser extrapolados a otras especialidades así como etapas educativas.

Palabras clave

Cambio, innovación, enseñanza-aprendizaje, matemáticas, alumnado.


In first sections of current document, the reader could find a brief explanation about the importance of innovation in our current society and even more, in the field of education.

However, the true aim is to show new didactic methods to be used in the classroom, focusing in particular, on the performance of innovative activities. It is for this reason, you can find a serie of examples that although they are applied to the area of mathematics, can be extrapolated to other specialties as well as others educational stages.

Keywords

Change, innovation, teaching and learning process, mathematics, schoolchildren.


1. Introducción

Es tal la importancia del proceso de enseñanza-aprendizaje para un país, por su vinculación directa con su desarrollo cívico, social y económico, que se vuelve imprescindible evaluar tanto su idoneidad como su evolución.

Esta es la razón por la que desde el año 2010, a través de exámenes estandarizados, se viene realizando el conocido como Informe PISA (Informe del Programa Internacional para la Evaluación de Estudiantes). Éste es llevado a cabo por la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos) a fin de medir el rendimiento académico del alumnado en los campos de matemáticas, ciencia y lectura, con objeto de mejorar las políticas de educación existentes y sus resultados. Nótese por tanto, que este análisis no se enfoca en la evaluación de los aprendices, sino del sistema en el que están siendo educados.

Es gracias a este informe que se conoce que el sistema educativo español, centrándonos en el ámbito que respecta a las matemáticas, aun estando en la media de países como Estados Unidos, Francia, Rusia y Austria, está lejos de obtener puntuaciones tan altas como los países asiáticos de Japón, Taiwán, China o Vietnam.  

Esto último, unido a la necesidad de reducir las tasas de fracaso escolar obtenidas en esta materia así como en general, el abandono escolar, hace conveniente plantear preguntar del tipo: ¿qué puede hacer el sistema español para mejorar estos resultados? Es más, ya no de una forma tan genérica sino más local, ¿cómo puede el propio profesor o profesora de matemáticas participar en la mejora de estos aspectos?

2. La innovación como respuesta

Los sistemas educativos en general, y cada centro en particular, son una respuesta compleja, gestada a partir de la historia y las circunstancias políticas, económicas, sociales, y culturales, concretas en las que se han originado. Son aún más complejas por tanto, si hablamos de que la sociedad a la que intenta dar respuesta, está inmersa en un cambio continuo. 

Es esto pues, lo que origina la existencia de teorías como “La modernidad líquida” de Zygmunt Bauman, que define la sociedad como individual, temporal e inestable; careciente de aspectos sólidos y que cuenta con fecha de caducidad. Es ante dicha “caducidad” que se evidencia, entre otros aspectos, la necesidad de que la educación sea innovadora. Este concepto implica por tanto, un cambio planificado intencionalmente para producir una mejora; es una respuesta a una necesidad concreta, que da solución a ésta.

Este concepto de innovación también es extrapolado a la didáctica de cualquier asignatura y concretamente, en el campo que a nosotros nos ocupa de las matemáticas. Es aquí cuando el profesor, bajo los nuevos cambios efectuados en la concepción del procesos educativo, adquiere un papel de facilitador y guía para el alumno/a, siendo éstos, los verdaderos protagonistas y responsables de su propia educación, adoptando un papel activo en esta ocasión.

Como si de una cadena se tratase, estos cambios se traspasan tanto a los contenidos como a los recursos, métodos y por tanto, a las actividades y ejercicios realizados en el aula. Es aquí, cuando el docente, en su faceta de facilitador, debe ofrecer experiencias innovadoras que busquen la motivación y participación activa del alumnado.

Lo dicho anteriormente da pie a un amplio abanico de ideas y posibilidades fomentado además, por la presencia de las nuevas tecnologías en los centros educativos.

Son tantos los ejercicios y actividades que pueden realizarse, que sería inviable plasmar cada una de ellos, por lo que a continuación se exponen algunos ejemplos que pueden orientar a la realización de actividades innovadoras dentro del aula.

3. La historia de las matemáticas como recurso didáctico y otras propuestas innovadoras a realizar en el aula

Centrándonos en la etapa de Educación Secundaria Obligatoria (ESO), el sistema educativo español establece los contenidos básicos que deben impartirse, durante los 4 cursos escolares que conforman dicha etapa (hablando siempre desde el área de matemáticas), a través del Real Decreto 1105/2014. Consultando éste, podemos definir algunas actividades creativas que sirvan para transmitir los conceptos matemáticos considerados más relevantes.

Sin embargo, antes de exponer ejemplos de algunos conceptos agrupados por cursos, conviene destacar que existe una herramienta importante en cuanto a la transmisión de conocimientos matemáticos se refiere: su historia.

Precisamente, no resulta complicado encontrar numerosos libros o artículos científicos que describen cómo la historia de las matemáticas puede ser utilizada como recurso didáctico. Así por ejemplo, podemos citar las obras:

  • González-Urbaneja, P.M. (2004). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza. SUMA, 45, 17-28.
  • Carlavilla-Fernández, J.L. y Fernández-García, G. (1989). Didáctica e historia de las Matemáticas. SUMA, 4, 65-80.

Ambas obras, sustentadas en textos de importantes matemáticos, pedagogos e historiadores del último siglo: Poincaré, Klein, Toeplitz, Köthe, Bell, Courant, Puig Adam, Lakatos, Kline, Santaló... vienen a exponer los motivos por los que la historia debe ser considerada y utilizada como un recurso metodológico dadas sus numerosas ventajas.

Por un lado, ayuda a generar motivación puesto que se les brinda información en forma de cuento o relato, rompiendo la estructura formal asociada a las matemáticas.  Por ejemplo, el alumnado puede conocer que el sistema decimal es el más extendido desde la antigüedad dado que procede del recuento de los propios dedos de la mano; o el sistema en base 60, usado por la cultura Babilonia, los cuales utilizaban los dedos de la mano derecha (sin contar el pulgar), contando cada dedo tres veces, es decir, señalando cada una de las falanges. Obtenían de esta manera, una docena de posiciones solamente con la mano derecha, mientras que con la mano izquierda, contaban con los cinco dedos el número de manos derechas que habían utilizado, permitiendo alcanzar la cifra de cinco veces doce; 60.

Igualmente, ayuda a comprender cuál fue el problema que les fue planteado a nuestros antepasados, que incitó la necesidad de desarrollar herramientas matemáticas para su resolución. Por ejemplo, las ecuaciones surgieron a raíz de que los egipcios necesitaran repartir víveres, cosechas y materiales.

De esta forma, si se continúa la historia de las ecuaciones (por seguir el ejemplo), el aprendiz puede entender los procesos que llevaron a cabo para llegar a sus soluciones, haciendo incluso hincapié en los errores que cometieron, y de esta forma entender cómo y por qué se procede de esta forma en la actualidad.

También hay un factor importante a mencionar y es el de comprender su utilidad en nuestra vida diaria. Acercando así la ciencia a nuestra vida cotidiana, generamos motivación y eliminamos la sensación de vacío, inutilidad y pérdida de tiempo generados en el estudiante al estudiarlo.

  • Actividades propuestas para 1.º de ESO

Para comenzar trabajando todo el bloque 2, “números y álgebra”, se podría confeccionar un tablero parecido al juego de la Oca, donde cada casilla tuviese pequeñas pruebas, ejercicios, problemas, retrocesos de casilla, pérdida de turno, etc., relacionados con los contenidos pertenecientes a dicho bloque (divisibilidad, números primos y compuestos, múltiplos y divisores comunes o números enteros, entre otros). De esta forma, se formarían grupos reducidos que conseguirían puntos cada vez que se resolviera un ejercicio de manera adecuada.

Igualmente, éste tablero podría ser extensible a cualquier tipo de contenido así como de aplicación durante todo el curso si, en lugar de plasmar los ejercicios en el propio tablero, se hiciera en tarjetas vinculadas al número de la casilla… Trabajaríamos, por tanto, las competencias CSC, CMCT, CCL y CAA[1].

Por otro lado, dentro del bloque 5 de estadística, los contenidos de probabilidad podrían trabajarse a través de encuestas realizadas con ordenador.

Para ello, existen una infinidad de páginas web online o herramientas informáticas que permiten generar una encuesta propia (Googledrive, Quizbean, Blubbr, Quizlet…) acerca de un tema interesante para ellos: votar su videojuego favorito, qué actividad prefieren realizar en su tiempo libre, equipo de fútbol o baloncesto preferido…

El objetivo es que, tras realizar la encuesta, entre todos, por grupos o de forma individual, se realicen cálculos estadísticos y se representen, bien en el propio cuaderno o bien, haciendo uso de algún software informático, desarrollando por tanto, las competencias CMCT, CD, CCL, CSC y CEC.

  • Actividades propuestas para 2.º de ESO

Dos conceptos importantes (que también puede haberse impartido en el primer curso) y que están relacionados con la geometría son, el Teorema de Pitágoras y el Teorema de Thales.

Para trabajar el primero de ellos, pueden repartirse, a cada alumno (o por grupos) 4 triángulos del mismo tamaño, en formato papel, para seguidamente solicitarles la construcción de un cuadrado cuya área tenga un valor de, por ejemplo, 64 cm2. Una vez construido, se pedirá que contesten a preguntas del tipo: “Si ahora el área del cuadrado fuese de 121 cm2, utiliza el teorema de Pitágoras para calcular cuánto vale la hipotenusa y los catetos de cada triángulo. Haciendo uso de internet u otras fuentes de información, contesta a qué obra de arte corresponde la construcción realizada indicando autor, título, fecha de realización y datos relevantes sobre la obra/autor”. Es decir, para darle solución, tendrán que simular la obra “12 grupos de cuatro en un campo blanco” (1982), del artista Max Bill (imagen derecha).

Destacar por tanto, que de este modo se desarrolla la competencia CEC, al vincular las matemáticas con obras de arte, además de la CMCT, CPAA, y CD.

En cuanto al teorema de Thales, se pueden proponer ejercicios también vinculados con otras disciplinas como es la ingeniería. Para ello, se reparte una la fotografía del puente del Alamillo de Sevilla en formato A3 ó A4, a cada integrante de la clase, se les pide trazar dos rectas secantes, r y s, que corten a cada uno de los cables tensores. Posteriormente, deben medir cada segmento obtenido de la intersección de r con los cables y dividirlo por el correspondiente segmento obtenido en s. Tras ello se preguntará: “¿Qué concepto matemático se observa? Enuncia el concepto empleado para su construcción, indica su autor, año de construcción y localización”. Por ende, se trabajarán las competencias: CAA, CEC, CCL, CD y CMCT. 

Puente del Alamillo, Sevilla.

  • Actividades propuestas para 3.º de ESO

Para el presente curso, dentro del bloque 2, “números y álgebra”, una manera original de trabajar los contenidos referentes a aproximaciones y errores, es a través de la siguiente actividad propuesta, siendo necesario, en este caso, materiales tan inusuales dentro del aula como las telas, así como otros tan comunes como tijeras, regla, lápiz y cuaderno.

La realización de la actividad puede ser concebida individualmente, para luego  realizar interacciones entre iguales como consecuencia del cambio entre los trabajos realizados y la puesta en común de resultados.

La actividad consistirá en repartir un trozo de tela a cada uno de los alumnos, sobre la que tendrán que dibujar un cuadrado de 3 cm de lado (por ejemplo), y tras esto, tendrán que recortarlo.

Se solicitará que cada uno mida los lados del cuadrado y sus dos diagonales para anotarlo en el cuaderno. Esta operación, tendrán que ser realizada tres veces.

Con las medidas obtenidas en cada una de ellas, se calculará el área (si la temporalización de contenidos geométricos ha sido previa, la figura geométrica, así como su cálculo, puede complicarse sirviendo asimismo, para recordar conceptos referentes a la rama de geometría).

Tras esto, cada alumno dará su cuadrado a otro compañero y éste tendrá que repetir la misma operación de medida y cálculo. Se volverá a cambiar de cuadrado y se realizará el mismo proceso una vez más, de forma que al final, cada alumno habrá realizado un total de 9 mediciones, usando tres cuadrados diferentes.

Al azar se elegirán 5 estudiantes y en la pizarra se anotarán los datos recogidos. A partir de entonces, entre todos se definirá: tipo de error cometido, cálculo del error absoluto y relativo (de la medida de lados y cálculo de área), aproximación mediante el método de redondeo… para terminar exponiendo más ejemplos de la vida cotidiana donde podamos evidenciar este tipo de errores (nótense desarrolladas las competencias CL, CMCT, CSC, CPAA).

Para trabajar el bloque cuatro de funciones, existen numerosas herramientas informáticas mediante las que poder resolver ecuaciones tanto lineales como de grado superior, así como para llevar a cabo su representación.

Como destacada, podemos hablar de Geogebra. Éste es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio matemático con software interactivo que reúne nociones de geometría, álgebra, estadística y cálculo. Es de uso gratuito y tan sólo necesita un ordenador para poder ser utilizado en el aula (es por ello que se trabaja la competencia digital además de la propia matemática).

Por tanto, si se cuenta con éste, una actividad interesante a proponer sería la resolución, de forma individual o colectiva, de ecuaciones de un determinado grado así como de su representación. 

  • Actividades propuestas para 4.º de ESO

Una de las actividades que se proponen para trabajar los contenidos de matemáticas de 4.º de ESO (números racionales e irracionales, potencias, logaritmos, ecuaciones de grado superior a dos e inecuaciones…), requiere el uso de códigos QR y de teléfono móvil con la aplicación necesaria para el escaneo de éstos.

En un primer momento, la realización de la actividad podría ser de tipo individual para luego formar grupos, de modo que sus integrantes sean aquellos que han realizado la misma actividad (este agrupamiento persigue que el alumnado debata la idoneidad del método seguido para su resolución y los resultados obtenidos). De este modo, se trabajan la competencia inherente a matemáticas, además de la CCL, CSC y CD.

Para su realización, el profesor o profesora, mediante una aplicación software, habrá vinculado un cierto número de ejercicios (uno por cada código), donde la mitad o más de ellos, pueden llevar implícito el uso de algún programa informático (Geogebra, kahoot, etc) para su resolución; los restantes, se podrán resolver mediante lápiz y papel, haciendo uso de la calculadora.

Independientemente del modo de resolución, a través de las actividades se trabajarán contenidos de esta etapa.

Una vez que el docente haya repartido los códigos QR (impresos y plastificados) a cada estudiante, éstos tendrán que escanearlos mediante la aplicación oportuna, para acceder al enunciado de la actividad.

Tras dejar el tiempo oportuno para su resolución (no tendrá por qué ser en el mismo día), se realizarán agrupamientos de un máximo de 4 integrantes, en función de la actividad resuelta (es decir, cada adolescente cambiará de grupo cuando se cambie de ejercicio).

Revisado el total de actividades, se pondrán en común los resultados, tanto correctos como incorrectos, aclarando finalmente, cuáles son los verdaderos y analizando qué ha llevado a error en su resolución.

Otra propuesta para este curso (que lleva implícitos contenidos del bloque estadístico) es, dada la edad más avanzada de los alumnos, realizar un estudio estadístico acerca de los errores matemáticos más comunes encontrados en los cursos anteriores (es decir, los correspondientes a 1.º, 2.º y 3.º de ESO). Con los datos recabados, se pueden proponer ejercicios donde se pongan en práctica las fórmulas probabilísticas aprendidas: Laplace, Teorema de Bayes, medidas de centralización, de dispersión…

De realizarse de manera correcta, se obtienen numerosas ventajas, no sólo para los estudiantes, sino también para el propio docente.

Es decir, a través de ella, los alumnos podrán recordar conocimientos de cursos anteriores así como afianzar conceptos estudiados de la rama estadística. Por otro lado, el docente podrá obtener información tan valiosa como es la presencia y el tipo de errores más repetidos en el primer ciclo de la etapa de secundaria. Si estos datos se tratan con rigurosidad y se sabe obtener provecho, pueden ayudar a proponer métodos didácticos a aplicar en la transmisión de conocimientos matemáticos en dichos cursos, que persigan corregir los errores detectados.

Conclusiones

De lo leído hasta ahora es conveniente concluir que, aunque durante todo el texto se ha hablado de la necesidad de cambio en la metodología, desde un punto de vista del alumnado, conviene hacer mención a la necesidad de este mismo cambio en la formación del profesorado.

Con respeto a esto, es imprescindible ser conscientes de que será muy difícil o casi imposible que un sistema pueda adaptarse a los cambios si no son los propios docentes los que están informados acerca de éstos.

Es por ello que, al igual que ocurre en otros trabajos, es cada vez más frecuente aplicar “cursos de reciclaje” en los centros educativos. Precisamente, es en el mundo educativo donde este reciclaje es especialmente importante, ya que los docentes son transmisores y por tanto, deben tener suficientes conocimientos y habilidades, adaptados claro está, a un mundo tecnológicamente cambiante.

Dichos curso no sólo abren vías de formación, sino también da pie a conocer nuevas metodologías, como las mencionadas a lo largo del documento para, además de ser un buen curso formativo, se encuentre enfocado al desarrollo de la innovación, tanto en profesores como a la propia institución educativa.

Igualmente fomentarán oportunidades para la implantación de proyectos comunes así como que los profesionales de la educación colaboren entre sí para mejorar el aprendizaje de los alumnos.

Referencias

  • Carlavilla-Fernández, J. L. y Fernández-García, G. (1989). Didáctica e historia de las Matemáticas. SUMA, 4, 65-80.
  • González-Urbaneja, P. M. (2004). La historia de las Matemáticas como recurso didáctico e instrumento para enriquecer culturalmente su enseñanza. SUMA, 45, 17-28.
  • Ministerio de Educación y Formación Profesional, Gobierno de España (2018): PISA 2018. Consultado 29-05-2019 en http://www.educacionyfp.gob.es/inee/evaluaciones-internacionales/pisa/pisa-2018.html
  • Ministerio de Educación y Formación Profesional, Gobierno de España: Competencias clave. Consultado 29-05-2019 en: https://www.educacionyfp.gob.es/educacion/mc/lomce/el-curriculo/curriculo-primaria-eso-bachillerato/competencias-clave/competencias-clave.html
  • Yáñez-Velázco, J. (2013). “Reseña de «La educación en sociedades líquidas»”. Revista Iberoamericana De Educación Superior, Vol. 4.
  • Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación.
  • Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para la Mejora de la Calidad Educativa.
  • Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato.

[1] Las siglas de las competencias clave que se utilizan son las recogidas por la normativa vigente. Pueden ser consultadas: https://www.educacionyfp.gob.es/educacion/mc/lomce/el-curriculo/curriculo-primaria-eso-bachillerato/competencias-clave/competencias-clave.html